জ্যামিতি যখন গোয়েন্দাগিরিতে

আগের পর্ব

মিষ্টি আর রসালো লিচু ভালোবাসে না এমন কাউকে খুঁজে পাওয়া কঠিন! কিন্তু ভেবে দ্যাখো তো, সেই মিষ্টি লিচু মুখে পুরতে হলে যদি আগে জ্যামিতির কঠিন সব উপপাদ্যের প্যাঁচ খুলতে হয়? সাজেদুল করিমের বিখ্যাত কিশোর গল্প ‘জ্যামিতি কষে লিচু খাও’-এ কিন্তু ঠিক এমনটাই ঘটেছিল! পড়ালেখার ভীতি তাড়িয়ে জ্যামিতিকে কত মজার একটা খেলায় বদলে দেওয়া যায়, গল্পটি যেন তারই এক জাদুকরী উদাহরণ। মজার এই গল্পটা যারা পড়নি, তারা এখনই পড়ে দেখতে পারো।

কিন্তু এই জ্যামিতি কষে কি শুধুই লিচু খাওয়া যায়? নাকি আরও রোমাঞ্চকর কিছু করা সম্ভব?

স্কুলের ক্লাসে বোর্ডে আঁকা জ্যামিতির হিজিবিজি সব আকৃতি দেখে হয়তো তোমার মনে হতে পারে—এসব গোলমেলে জিনিস বাস্তবে আবার কোথায় কাজে লাগে? কিংবা কখনো কি ভেবেছ—রহস্যে ঘেরা গোয়েন্দা গল্পের রোমাঞ্চকর রহস্য সমাধান করতে কিংবা আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের জন্ম দিতেও এই জ্যামিতির ব্যবহার হতে পারে? শার্লক হোমস তো সবসময় বড় বড় অপরাধীদের পেছনে ছোটেন, কিন্তু কখনো তিনি জ্যামিতি কষে অপরাধী ধরেছেন?

তাহলে শুনলে অবাক হবে! জ্যামিতির এই মারপ্যাঁচ ব্যবহার করেই কিন্তু বড় বড় গোয়েন্দারা বাঘা বাঘা অপরাধীদের থলেবন্দী করেছেন। আবার আইনস্টাইনের মতো বিজ্ঞানীরা জন্ম দিয়েছেন আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের। স্যার আর্থার কোনান ডয়েলের বিশ্ববিখ্যাত গোয়েন্দা চরিত্র শার্লক হোমস তো জ্যামিতির জাদুতে একেবারে বুঁদ হয়ে গিয়েছিলেন! শার্লক হোমসের ‘দ্য অ্যাডভেঞ্চার অব দ্য মাসগ্রেভ রিচুয়াল’ গল্পে এমনই এক রোমাঞ্চকর ঘটনা ঘটে।

জ্যামিতির এই মারপ্যাঁচ ব্যবহার করেই কিন্তু বড় বড় গোয়েন্দারা বাঘা বাঘা অপরাধীদের থলেবন্দী করেছেন। আবার আইনস্টাইনের মতো বিজ্ঞানীরা জন্ম দিয়েছেন আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের।

সেবার একটি রহস্যময় মামলার সুতো খুঁজতে গিয়ে শার্লক হোমসের অদ্ভুত একটি তথ্য জানা খুব জরুরি হয়ে পড়ল। তাঁকে বের করতে হবে—দিনের একটি বিশেষ সময়ে ৬৪ ফুট লম্বা একটি ওক গাছের ছায়া মাটিতে ঠিক কত দূর পর্যন্ত গিয়ে পড়ত!

শুনে মনে হতে পারে, এতে আর এমন কী কঠিন কাজ? কিন্তু আসল ঝামেলা হলো—গাছটি বহু বছর আগেই কেটে ফেলা হয়েছে! যে গাছের কোনো অস্তিত্বই নেই, তার ছায়া মাপবে কীভাবে? সাধারণ কোনো গোয়েন্দা হলে হয়তো এখানেই মাথা চুলকাত। কিন্তু তিনি তো শার্লক হোমস!

হোমস মোটেও দমে গেলেন না। তিনি অপেক্ষা করতে লাগলেন সূর্য কখন ঠিক সেই নির্দিষ্ট কোণে আসে। সূর্য সঠিক জায়গায় পৌঁছানো মাত্রই হোমস তাঁর সঙ্গে থাকা ৬ ফুট লম্বা একটি মাছ ধরার ছিপ সোজা করে মাটিতে পুঁতে দিলেন। তারপর ছিপের ছায়ার দৈর্ঘ্য মেপে নিয়ে তিনি হিসাব কষে ফেললেন! এরপরই শুরু হলো হোমসের আসল জ্যামিতিক খেলা!

তিনি মনে মনে হিসাব করলেন: মাছ ধরার ছিপটির দৈর্ঘ্য = ৬ ফুট। আর কেটে ফেলা গাছটির দৈর্ঘ্য ছিল = ৬৪ ফুট। গাছটি ছিপের চেয়ে ঠিক যত গুণ লম্বা, তার ছায়াও তো ছিপের ছায়ার চেয়ে ঠিক তত গুণই লম্বা হবে! অর্থাৎ, ছিপের ছায়ার দৈর্ঘ্যকে ৬৪/৬ দিয়ে গুণ করলেই পাওয়া যাবে সেই কেটে ফেলা গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য!

সূর্য সঠিক জায়গায় পৌঁছানো মাত্রই হোমস তাঁর সঙ্গে থাকা ৬ ফুট লম্বা একটি মাছ ধরার ছিপ সোজা করে মাটিতে পুঁতে দিলেন। তারপর ছিপের ছায়ার দৈর্ঘ্য মেপে নিয়ে তিনি হিসাব কষে ফেললেন!

এই সাধারণ হিসাবটুকু কষেই হোমস পেয়ে গেলেন বহু বছর আগের সেই হারিয়ে যাওয়া ছায়ার শেষ সীমা। তিনি হেঁটে ঠিক সেই জায়গায় গিয়ে পৌঁছালেন। আর গিয়েই যা দেখলেন, তাতে তাঁর চোখ ছানাবড়া! মাটিতে একটি শঙ্কু আকৃতির গর্তের চিহ্ন হয়ে আছে। আসল অপরাধী ‘ব্রান্টন’ গোপন ধন-রত্ন খুঁজতে ঠিক এই জ্যামিতির হিসাব কষেই সেই জায়গায় দাগ দিয়ে গিয়েছিল!

উত্তেজনায় হোমসের মন নেচে উঠল। তিনি আনন্দিত হয়ে তাঁর বিশ্বস্ত বন্ধু ডক্টর ওয়াটসনকে বললেন: ‘আমার আনন্দ আর রোমাঞ্চের কথাটা একবার ভেবে দেখো, ওয়াটসন! আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে ব্রান্টনও ঠিক এই মাপজোখটাই করেছিল আর আমি একদম সঠিক পথেই এগোচ্ছি!’

একটু তলিয়ে দেখলে বুঝবে, হোমস কিন্তু নতুন কিছু আবিষ্কার করেননি। হাজার বছর আগে প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ থেলিস ঠিক এই একই বুদ্ধি খাটিয়ে মিসরের বিশাল পিরামিডের উচ্চতা মেপে পুরো বিশ্বকে তাক লাগিয়ে দিয়েছিলেন!

জ্যামিতির ভাষায় এই জাদুকরী কৌশলকে বলা হয় সদৃশ ত্রিভুজ। সহজ কথায়, নির্দিষ্ট সময়ে সূর্যের আলো যখন কোনো বস্তুর ওপর পড়ে, তখন বস্তুটির উচ্চতা এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত সবসময় সমান থাকে।

তাহলে দেখলে তো? জ্যামিতি কেবল লিচু খাওয়ার চমৎকার ফন্দি কিংবা খাতার পাতায় আঁকা কিছু নিরস দাগ নয়; সঠিক সময়ে বুদ্ধি খাঁটিয়ে ব্যবহার করতে পারলে এই জ্যামিতিই হয়ে উঠতে পারে রোমাঞ্চকর রহস্য উন্মোচনের সবচেয়ে ধারালো অস্ত্র!

সহজ কথায়, নির্দিষ্ট সময়ে সূর্যের আলো যখন কোনো বস্তুর ওপর পড়ে, তখন বস্তুটির উচ্চতা এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত সবসময় সমান থাকে।

গলি ও মইয়ের প্রাচীন ধাঁধা

সদৃশ ত্রিভুজের ধারণা দিয়ে যে কেবল গোয়েন্দা গল্পের রহস্য সমাধান কিংবা প্রাচীন পিরামিডের উচ্চতাই মাপা যায় তা নয়; এটি দিয়ে গণিতের হাজার বছরের পুরনো আর কঠিন নানা ধাঁধার সমাধানও করা সম্ভব! আজ থেকে প্রায় বারোশো বছর আগে, ৮৫০ খ্রিষ্টাব্দে বিখ্যাত ভারতীয় গণিতবিদ মহাবীর তাঁর লেখা গণিতগ্রন্থে এমনই একটি অসাধারণ ও রোমাঞ্চকর ধাঁধার উল্লেখ করেছিলেন।

ধরো, একটি গলির দুপাশের দুই দেয়ালের গায়ে দুটি মই আড়াআড়িভাবে হেলান দিয়ে রাখা আছে (যেমনটা ৪০ নং ছবিতে দেখা যায়)। দেয়াল দুটিতে মই দুটি কত উঁচুতে ঠেকেছে তা জানা আছে। ধরা যাক, তাদের উচ্চতা যথাক্রমে a এবং b। এখন মই দুটি যে জায়গায় একটি আরেকটিকে ছেদ করেছে, মাটি থেকে সেই ছেদবিন্দুর উচ্চতা (h) কত?

প্রথম দর্শনে যে কারও মনে হতে পারে—গলির চওড়া ঠিক কতটা (অর্থাৎ দেয়াল দুটি কতটা দূরে অবস্থিত), তার ওপর হয়তো এই ছেদবিন্দুর উচ্চতা (h) নির্ভর করবে। গলি বেশি চওড়া হলে উচ্চতা এক রকম হবে, আর সরু হলে অন্য রকম। কিন্তু আসল চমকটি সেখানেই! গলিটা কতটা চওড়া তার ওপর h-এর মান মোটেই নির্ভর করে না! গলিটা যতই সরু হোক কিংবা যতই চওড়া হোক না কেন, দেয়াল দুটিতে মইয়ের স্পর্শবিন্দুর উচ্চতা (a ও b) নির্দিষ্ট থাকলে, মই দুটির ছেদবিন্দুর উচ্চতা (h) সবসময় একই থাকবে! অবিশ্বাস্য মনে হচ্ছে? চলো, সদৃশ ত্রিভুজের সাহায্যে একদম পানির মতো সহজে এটি প্রমাণ করে ফেলা যাক।

গলি বেশি চওড়া হলে উচ্চতা এক রকম হবে, আর সরু হলে অন্য রকম। কিন্তু আসল চমকটি সেখানেই! গলিটা কতটা চওড়া তার ওপর h-এর মান মোটেই নির্ভর করে না!

ধরা যাক, গলির মোট চওড়া c। ছেদবিন্দু থেকে মাটিতে সোজা একটি লম্ব টানলে গলির চওড়াটি দুটি অংশে ভাগ হয়ে যায়—এক অংশ c₁ এবং অন্য অংশ c₂ (অর্থাৎ c = c₁ + c₂)।

এখন সদৃশ ত্রিভুজের অনুপাতের নিয়ম খাটালে আমরা অনায়াসেই লিখতে পারি:

প্রথম পাশের ত্রিভূজ জোড়া থেকে পাই: c₁ / c = h /b

দ্বিতীয় পাশের ত্রিভুজ জোড়া থেকে পাই:  c₂ / c = h /a

এবার সহজ একটা বীজগণিত। সমীকরণ দুটোকে পাশাপাশি যোগ করে ফেলি:

c₁ / c ‍+ c₂ / c = h /b ‍+ h /a

যেহেতু মোট চওড়া c = c₁ + c_{2, তাই} বামপাশের ভগ্নাংশের মান হবে c / c = 1

তাহলে সমীকরণ পাওয়া যাবে: 1 = h (1 /a + 1/b)

এখান থেকে পাওয়া যায় সেই বিখ্যাত জাদুকরী সূত্র: 1/h = 1 /a + 1/b

 খেয়াল করে দেখো, এই চূড়ান্ত সূত্রে গলির চওড়া (c)-এর কিন্তু কোনো অস্তিত্বই নেই! তার মানে গলি ১ ফুট চওড়া হোক কিংবা ১০০ ফুট—ছেদবিন্দুর উচ্চতা (h) সবসময় একই থাকবে। সদৃশ ত্রিভুজের এই এক সাধারণ ধারণা কেবল খাতার পাতায় আঁকা কিছু সমীকরণ নয়, বরং হাজার বছর ধরে গণিতপ্রেমীদের মুগ্ধ করে রাখা এক অনন্য রূপকথা!

খেয়াল করে দেখো, এই চূড়ান্ত সূত্রে গলির চওড়া-এর কিন্তু কোনো অস্তিত্বই নেই! তার মানে গলি ১ ফুট চওড়া হোক কিংবা ১০০ ফুট—ছেদবিন্দুর উচ্চতা সবসময় একই থাকবে।

সদৃশ ত্রিভুজের পিথাগোরাস!

গণিতের ইতিহাসে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (a2 + b2 = c2) কত শত উপায়ে প্রমাণ করা হয়েছে, তার কোনো ইয়ত্তা নেই। কিন্তু এর মধ্যে সবচেয়ে সুন্দর, মার্জিত এবং চমৎকার উপায় কোনটি জানো? সেটি হলো—সদৃশ ত্রিভুজ বা সিমিলার ট্রায়াঙ্গলের এর জাদু!

শোনা যায়, সর্বকালের অন্যতম সেরা বিজ্ঞানী আলবার্ট আইনস্টাইন যখন মাত্র ১২-১৩ বছরের এক কিশোর, তখন তিনি নিজে চেষ্টা করে সদৃশ ত্রিভুজের ধারণা দিয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের এক অনন্য প্রমাণ বের করেছিলেন! আইনস্টাইন ঠিক কীভাবে চিন্তা করেছিলেন, তার হুবহু পান্ডুলিপি না থাকলেও তিনি কিন্তু জ্যামিতির অত্যন্ত সহজ একটি কৌশল ব্যবহার করেছিলেন।

যেকোনো একটি সমকোণী ত্রিভুজ নাও। এবার এর সমকোণ (৯০° কোণ) থেকে বিপরীত বাহু অর্থাৎ অতিভুজের ওপর সোজা একটি লম্ব টেনে দাও।

এই একটিমাত্র লম্ব টানার ফলে মূল সমকোণী ত্রিভুজটি ভেঙে ভেতরে দুটি ছোট ছোট ত্রিভুজ তৈরি হলো। এখন সবচেয়ে অবাক করা বিষয়টি কী জানো?

শোনা যায়, বিজ্ঞানী আলবার্ট আইনস্টাইন যখন মাত্র ১২-১৩ বছরের এক কিশোর, তখন তিনি নিজে চেষ্টা করে সদৃশ ত্রিভুজের ধারণা দিয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের এক অনন্য প্রমাণ বের করেছিলেন!

এই নতুন তৈরি হওয়া দুটি ছোট ত্রিভুজ এবং মূল বড় ত্রিভুজটি—তিনটিই কিন্তু দেখতে হুবহু একই রকম। অর্থাৎ তারা একে অপরের সদৃশ! কারণ তিনটি ত্রিভুজেরই তিনটি কোণ একে অপরের সমান।

চলো দেখা যাক, এই সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করে কীভাবে ২ মিনিটে পাইথাগোরাসের সূত্রটি প্রমাণ করে ফেলা যায়।

পাইথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণের সবচেয়ে সুন্দর এবং মার্জিত উপায়গুলোর একটি হলো এই ‘সদৃশ ত্রিভুজ’।

বিজ্ঞানী আলবার্ট আইনস্টাইন ছোটবেলায় নাকি অনেক চেষ্টা করে সদৃশ ত্রিভুজ দিয়ে পাইথাগোরাসের উপপাদ্যের এক নতুন প্রমাণ বের করেছিলেন! আইনস্টাইন ঠিক কীভাবে করেছিলেন তা শতভাগ নিশ্চিত না হওয়া গেলেও, এটি দুটি দারুণ উপায়ে করা যায়:

যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ থেকে যদি বিপরীত বাহু বা অতিভুজের ওপর একটি লম্ব টানা হয়, তবে মূল ত্রিভুজটি ভেঙে দুটি ছোট ত্রিভুজ (I এবং II) তৈরি হয়। মজার ব্যাপার হলো—এই নতুন দুটি ছোট ত্রিভুজ এবং মূল বড় ত্রিভুজ—তিনটিই একে অপরের সদৃশ!

বিজ্ঞানী আলবার্ট আইনস্টাইন ছোটবেলায় নাকি অনেক চেষ্টা করে সদৃশ ত্রিভুজ দিয়ে পাইথাগোরাসের উপপাদ্যের এক নতুন প্রমাণ বের করেছিলেন!

একটি চমৎকার ও সহজ পদ্ধতি

যেহেতু ত্রিভুজ তিনটি সদৃশ, তাই তাদের ছোট বাহু এবং অতিভুজের অনুপাত সমান হবে:

তাই ১ম ছোট ত্রিভুজ ও বড় ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই:

c₁ /a = a /c

a² = c c c₁

২য় ছোট ত্রিভুজ ও বড় ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই:

c₂ /b = b / c

b² = c c c₂

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করে দিলে পাওয়া যাবে:

a² + b² = c (c₁ + c₂)

যেহেতু c₁ + c₂ = c (অতিভুজের পুরো দৈর্ঘ্য), তাই এই মানটি বসিয়ে দিলে পাওয়া যাবে: a² + b² = c²!

যেহেতু ছোট দুটি ত্রিভুজ মিলেই পুরো বড় ত্রিভুজটি তৈরি হয়েছে, তাই তাদের এই দুটি ভগ্নাংশের যোগফল অবশ্যই 1 হতে হবে!

আরও সহজ আর বুদ্ধিদীপ্ত পদ্ধতি

আমরা জানি, দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হয় তাদের বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান!

সুতরাং আমরা যদি চিত্র ৪১-এর কেবল অতিভুজগুলোর দিকেই নজর দিই, তাহলে দেখা যাবে বড় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের তুলনায় ১ম ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে a² / c²।

একই যুক্তিতে ২য় ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে b² /c²।

যেহেতু ছোট দুটি ত্রিভুজ মিলেই পুরো বড় ত্রিভুজটি তৈরি হয়েছে, তাই তাদের এই দুটি ভগ্নাংশের যোগফল অবশ্যই 1 হতে হবে!

a² /c² + b² /c² = 1

a² + b² = c²

(ভাবা যায়, কত সহজে এটা প্রমাণ হয়ে গেল!)

গঠিত সমকোণী ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ, কারণ তাদের তিনটি কোণই এক। সুতরাং থেলিসের সূত্র অনুযায়ী, তাদের বাহুগুলোর অনুপাত একই হবে।

ক্ষেত্রফল এবং সদৃশতার অদ্ভুত বন্ধুত্ব

আমরা এতক্ষণ ক্ষেত্রফল আর সদৃশতাকে আলাদাভাবে দেখছিলাম, কিন্তু তাদের মধ্যে গভীর সম্পর্ক রয়েছে।

একটি আয়তক্ষেত্র ABCD এবং এর একটি কর্ণ AC আঁকা যাক। এবার কর্ণের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু E নিই। এই E বিন্দুর মধ্যে দিয়ে বাহুগুলোর সমান্তরাল রেখা টানো (ছবি ৪২)।

এখানে গঠিত সমকোণী ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ, কারণ তাদের তিনটি কোণই এক। সুতরাং থেলিসের সূত্র অনুযায়ী, তাদের বাহুগুলোর অনুপাত একই হবে।

আর এই বিষয়টা যতই স্পষ্ট মনে হোক না কেন, আমরা চাইলে ক্ষেত্রফল ব্যবহার করেও এটি প্রমাণ করতে পারি।

প্রথমেই খেয়াল করুন, ছায়াবৃত আয়তক্ষেত্র দুটিকে কর্ণ AEC সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। ফলে দুটি হালকা ধূসর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান, এবং একই কথা সত্য দুটি গাঢ় ধূসর ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও।

আবার এই AEC কর্ণটি মূল বড় আয়তক্ষেত্রটিকেও সমদ্বিখণ্ডিত করে, ফলে ACD এবং ACB ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফল সমান।

তাহলে বিয়োগ করলেই সঙ্গে সঙ্গে বোঝা যায় যে, বাকি থাকা ছায়াবিহীন আয়তক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলও অবশ্যই সমান হতে হবে।

অর্থাৎ, a c d = b c c

এখানে উভয় পক্ষকে c দিয়ে ভাগ করলে পাওযা যায়: ad = bc

আর একে cd দিয়ে ভাগ করলেই ফলাফল চলে আসে: a / c = b /d

প্রথমেই খেয়াল করুন, ছায়াবৃত আয়তক্ষেত্র দুটিকে কর্ণ AEC সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। ফলে দুটি হালকা ধূসর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান, এবং একই কথা সত্য দুটি গাঢ় ধূসর ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও।

সামনে আরও বড় ক্যানভাস!

সদৃশতার ধারণা ভীষণ শক্তিশালী, কিন্তু এতক্ষণ আমরা শুধু সমকোণী ত্রিভুজ নিয়েই খেলা করেছি। আবার সর্বসমতা প্রমাণের জন্য এখন পর্যন্ত আমাদের হাতে কেবল একটিই হাতিয়ার আছে—SAS (বাহু-কোণ-বাহু)।

তাই এবার সময় এসেছে আরও বড় ক্যানভাসে পা রাখার, যেখানে আমরা যেকোনো ত্রিভুজ বা আকৃতির ক্ষেত্রে সর্বসমতা আর সদৃশতার পূর্ণাঙ্গ রূপ পর্যবেক্ষণ করব!

(ডেভিড অ্যাচিসনের দ্য ওয়ান্ডার বুক অব জিওমেন্ট্রি: আ ম্যাথমেটিক্যাল স্টোরি অবলম্বনে)